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The Equation of Continuity and the Equation of Motion in Cartesian, cylindrical, and spherical coordinates

CM4650 Spring 2003 Faith A. Morrison


Continuity Equation, Cartesian coordinates

r

t
æ
ç
ç
è
vx
r

x
+ vy
r

y
+ vz
r

z
ö
÷
÷
ø
+r æ
ç
ç
è
vx

x
+
vy

y
+
vz

z
ö
÷
÷
ø
= 0

Continuity Equation, cylindrical coordinates

r

t
1

r
(rrvr)

r
1

r
(rv
 
q
)

q
(rvz)

z
= 0

Continuity Equation, spherical coordinates

r

t
1

r2
(rr2vr)

r
1

r sinq
(rv
 
q
sinq)

q
1

r sinq
(rv
 
f
)

f
= 0

Equation of Motion for an incompressible fluid, 3 components in Cartesian coordinates

r æ
ç
ç
è
vx

t
+ vx
vx

x
+ vy
vx

y
+ vz
vx

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

x
æ
ç
ç
è
txx

x
+
tyx

y
+
tzx

z
ö
÷
÷
ø
+ r gx
r æ
ç
ç
è
vy

t
+ vx
vy

x
+ vy
vy

y
+ vz
vy

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

y
æ
ç
ç
è
txy

x
+
tyy

y
+
tzy

z
ö
÷
÷
ø
+ r gy
r æ
ç
ç
è
vz

t
+ vx
vz

x
+ vy
vz

y
+ vz
vz

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

z
æ
ç
ç
è
txz

x
+
tyz

y
+
tzz

z
ö
÷
÷
ø
+ r gz

Equation of Motion for an incompressible fluid, 3 components in cylindrical coordinates

r æ
ç
ç
è
vr

t
+ vr
vr

r
v
 
q


Transfer interrupted!

vr

q
-
v
2
 
q

r
+ vz
vr

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

r
æ
ç
ç
è
1

r
(r trr)

r
1

r
t
 
r q

q
-
t
 
q q

r
+
trz

z
ö
÷
÷
ø
+ r gr
r æ
ç
ç
è
v
 
q

t
+ vr
v
 
q

r
v
 
q

r
v
 
q

q
+
v
 
q
vr

r
+ vz
v
 
q

z
ö
÷
÷
ø
=
-
1

r
P

q
æ
ç
ç
è
1

r2
(r2t
 
r q
)

r
1

r
t
 
q q

q
+
t
 
q z

z
ö
÷
÷
ø
+ r g
 
q
r æ
ç
ç
è
vz

t
+ vr
vz

r
v
 
q

r
vz

q
+ vz
vz

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

z
- æ
ç
ç
è
1

r
(r trz)

r
1

r
t
 
q z

q
+
tzz

z
ö
÷
÷
ø
+ r gz

Equation of Motion for an incompressible fluid, 3 components in spherical coordinates

 
r æ
ç
ç
è
vr

t
+ vr
vr

r
v
 
q

r
vr

q
+

Transfer interrupted!

ER NOWRAP>
v
 
f

r sinq
vr

f
-
v
2
 
q
+v
2
 
f

r
ö
÷
÷
ø
= -
P

r
æ
ç
ç
è
1

r2
(r2trr)

r
+
1

r sinq
(t
 
r q
sinq)

q
+
1

r sinq
t
 
r f

f
-
t
 
q q
+t
 
f f

r
ö
÷
÷
ø
+ r gr
r æ
ç
ç
è
v
 
q

t
+ vr
v
 
q

r
v
 
q

r
v
 
q

q
v
 
f

r sinq
v
 
q

f
+
vr v
 
q

r
v
2
 
f
cotq

r
ö
÷
÷
ø
= - 
1

r
P

q
æ
ç
ç
è
1

r2
(r2t
 
r q
)

r
1

r sinq
(t
 
q q
sinq)

q
+
1

r sinq
t
 
q f

f
t
 
r q

r
(cotq ) t
 
f f

r
ö
÷
÷
ø
+ r g
 
q
r æ
ç
ç
è
v
 
f

t
+ vr
v
 
f

r
v
 
q

r
v
 
f


Transfer interrupted!

NOWRAP> q
v
 
f

r sinq
v
 
f

f
+
vr v
 
f

r
v
 
f
v
 
q
cotq

r
ö
÷
÷
ø
= - 
1

r sinq
P

f
æ
ç
ç
è
1

r2
(r2t
 
r f
)

r
1

r
t
 
q f

q
+
1

r sinq
t
 
f f

f
t
 
r f

r
(2 cotq ) t
 
q f

r
ö
÷
÷
ø
+ r g
 
f

Equation of Motion for incompressible, Newtonian fluid (Navier-Stokes equation) 3 components in Cartesian coordinates

r æ
ç
ç
è
vx

t
+ vx
vx

x
+ vy
vx

y
+ vz
vx

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

x
+µ  æ
ç
ç
è
2vx

x2
+
2vx

y2
+
2vx

z2
ö
÷
÷
ø
+ r gx
r æ
ç
ç
è
vy

t
+ vx
vy

x
+ vy
vy

y
+ vz
vy

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

y
+µ  æ
ç
ç
è
2vy

x2
+
2vy

y2
+
2vy

z2
ö
÷
÷
ø
+ r gy
r æ
ç
ç
è
vz

t
+ vx
vz

x
+ vy
vz

y
+ vz
vz

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

z
+µ  æ
ç
ç
è
2vz

x2
+
2vz

y2
+
2vz

z2
ö
÷
÷
ø
+ r gz

Equation of Motion for incompressible, Newtonian fluid (Navier-Stokes equation), 3 components in cylindrical coordinates

r æ
ç
ç
è
vr

t
+ vr
vr

r
v
 
q

r
vr

q
-
v
2
 
q

r
+ vz
vr

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

r
+µ  æ
ç
ç
è

r
æ
ç
ç
è
1

r
(r vr)

r
ö
÷
÷
ø
+
1

r2
2vr

q2
2

r2
v
 
q

q
2vr

z2
ö
÷
÷
ø
+ r gr
r æ
ç
ç
è
v
 
q

t
+ vr
v
 
q

r
v
 
q

r
v
 
q

q
+
vr v
 
q

r
+ vz
v
 
q

z
ö
÷
÷
ø
=
-
1

r
P

q
+µ  æ
ç
ç
è

r
æ
ç
ç
è
1

r
(r v
 
q
)

r
ö
÷
÷
ø
+
1

r2
2v
 
q

q2
2

r2
vr

q
2v
 
q

z2
ö
÷
÷
ø
+ r g
 
q
r æ
ç
ç
è
vz

t
+ vr
vz

r
v
 
q

r
vz

q
+ vz
vz

z
ö
÷
÷
ø
=
-
P

z
+µ  æ
ç
ç
è
1

r

r
æ
ç
ç
è
r
vz

r
ö
÷
÷
ø
+
1

r2
2vz

q2
2vz

z2
ö
÷
÷
ø
+ r gz

Equation of Motion for incompressible, Newtonian fluid (Navier-Stokes equation), 3 components in spherical coordinates

 
r æ
ç
ç
è
vr

t
+ vr
vr

r
v
 
q

r
vr

q
+
v
 
f

r sinq
vr

f
-
v
2
 
q
+v
2
 
f

r
ö
÷
÷
ø
 
 
= -
P

r
+ µ æ
ç
ç
è
Ñ2vr
2 vr

r2
2

r2
v
 
q

q
2 v
 
q
cotq

r2
-
2

r2 sinq
v
 
f

f
ö
÷
÷
ø
+ r gr
 
 
r æ
ç
ç
è
v
 
q

t
+ vr
v
 
q

r
v
 
q

r
v
 
q

q
v
 
f

r sinq
v
 
q

f
+
vr v
 
q

r
v
2
 
f
cotq

r
ö
÷
÷
ø
 
 
= -
1

r
P

q
+ µ  æ
ç
ç
è
Ñ2v
 
q
+
2

r2
vr

q
v
 
q

r2 sin2q
2 cosq

r2 sin2q
v
 
f

f
ö
÷
÷
ø
+ r g
 
q
 
 
r æ
ç
ç
è
v
 
f

t
+ vr
v
 
f

r
v
 
q

r
v
 
f

q
v
 
f

r sinq
v
 
f

f
+
vr v
 
f

r
v
 
f
v
 
q
cotq

r
ö
÷
÷
ø
 
 
= - 
1

r sinq
P

f
+ µ  æ
ç
ç
è
Ñ2v
 
f
v
 
f

r2 sinq
+
2

r2 sinq
vr

f
2 cosq

r2 sin2q
v
 
q

f
ö
÷
÷
ø
+ r g
 
f
where, in these equations, Ñ º 1/r2 /r ( r2 /r ) + 1/r2 sin/¶q ( sinq /¶q ) + 1/r2 sin2q ( 2/¶f2 ) .

Reference: R. B. Bird, W. E. Stewart, and E. N. Lightfoot, Transport Phenomena, Wiley: NY, 1960.



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This document was translated from LATEX by HEVEA.