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The Equation of Continuity and the Equation of
Motion in Cartesian, cylindrical, and spherical coordinates
CM4650 Spring 2003 Faith A. Morrison
Continuity Equation, Cartesian coordinates
|
|
+ |
æ
ç
ç
è |
vx |
|
+
vy |
|
+
vz |
|
|
ö
÷
÷
ø |
+r |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ |
|
+ |
|
|
ö
÷
÷
ø |
|
= |
0 |
|
Continuity Equation, cylindrical coordinates
Continuity Equation, spherical coordinates
Equation of Motion for an incompressible fluid, 3 components
in Cartesian coordinates
|
r |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ vx |
|
+ vy |
|
+ vz |
|
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ö
÷
÷
ø |
|
= |
- |
|
- |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ |
|
+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gx |
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r |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ vx |
|
+ vy |
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+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
|
- |
æ
ç
ç
è |
|
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gy |
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r |
æ
ç
ç
è |
|
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+ vx |
|
+ vy |
|
+ vz |
|
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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- |
æ
ç
ç
è |
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gz |
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Equation of Motion for an incompressible fluid, 3 components
in cylindrical coordinates
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vr |
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+ |
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- |
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+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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- |
æ
ç
ç
è |
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+ |
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- |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gr |
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vr |
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+ |
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|
+ |
|
+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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- |
æ
ç
ç
è |
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r g |
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vr |
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+ |
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+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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- |
æ
ç
ç
è |
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gz |
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Equation of Motion for an incompressible fluid, 3 components
in spherical coordinates
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vr |
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+ |
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+ |
Transfer interrupted!
ER NOWRAP>
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r sinq |
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- |
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ö
÷
÷
ø |
= - |
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- |
æ
ç
ç
è |
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+ |
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+ |
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- |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gr |
r |
æ
ç
ç
è |
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|
+ vr |
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+ |
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|
+ |
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+ |
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- |
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ö
÷
÷
ø |
= - |
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- |
æ
ç
ç
è |
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+ |
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+ |
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+ |
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- |
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ö
÷
÷
ø |
+ r g |
|
r |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ vr |
|
+ |
|
|
|
>
Transfer interrupted!
NOWRAP>¶ q |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
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ö
÷
÷
ø |
= - |
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- |
æ
ç
ç
è |
|
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+ |
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+ |
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r g |
|
Equation of Motion for incompressible, Newtonian fluid (Navier-Stokes
equation) 3 components in Cartesian coordinates
|
r |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ vx |
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+ vy |
|
+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
|
= |
- |
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+µ |
æ
ç
ç
è |
|
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gx |
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vx |
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+ vy |
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+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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+µ |
æ
ç
ç
è |
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gy |
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vx |
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+ vy |
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+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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+µ |
æ
ç
ç
è |
|
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+ |
|
+ |
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|
ö
÷
÷
ø |
+ r gz |
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|
Equation of Motion for incompressible, Newtonian fluid (Navier-Stokes
equation), 3 components in cylindrical coordinates
|
r |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ vr |
|
+ |
|
|
|
- |
|
+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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+µ |
æ
ç
ç
è |
|
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|
æ
ç
ç
è |
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ö
÷
÷
ø |
+ |
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- |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gr |
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vr |
|
+ |
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|
+ |
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+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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+µ |
æ
ç
ç
è |
|
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|
æ
ç
ç
è |
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ö
÷
÷
ø |
+ |
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
+ r g |
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vr |
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+ |
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+ vz |
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ö
÷
÷
ø |
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= |
- |
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+µ |
æ
ç
ç
è |
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æ
ç
ç
è |
r |
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ö
÷
÷
ø |
+ |
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|
+ |
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|
ö
÷
÷
ø |
+ r gz |
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|
Equation of Motion for incompressible, Newtonian fluid (Navier-Stokes
equation), 3 components in spherical coordinates
|
|
r |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ vr |
|
+ |
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|
|
+ |
|
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- |
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ö
÷
÷
ø |
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= - |
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+ µ |
æ
ç
ç
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Ñ2vr
- |
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- |
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- |
|
- |
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ö
÷
÷
ø |
+ r gr |
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r |
æ
ç
ç
è |
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+ vr |
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+ |
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+ |
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+ |
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- |
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ö
÷
÷
ø |
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= - |
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+ µ |
æ
ç
ç
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|
+ |
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ø |
+ r g |
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r |
æ
ç
ç
è |
|
|
+ vr |
|
+ |
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+ |
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+ |
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+ |
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ö
÷
÷
ø |
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= - |
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|
+ µ |
æ
ç
ç
è |
Ñ2v |
|
- |
|
+ |
|
|
|
+ |
|
|
|
|
ö
÷
÷
ø |
+ r g |
|
|
where, in these equations, Ñ º
1/r2 ¶/¶r
( r2 ¶/¶r
) + 1/r2 sinq¶/¶q
( sinq ¶/¶q
) + 1/r2 sin2q
(
¶2/¶f2
) .
Reference: R. B. Bird, W. E. Stewart, and E. N. Lightfoot, Transport
Phenomena, Wiley: NY, 1960.
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